收敛数列一定有界吗?

收敛数列一定是有界的，收敛的数列{xn}，在n→∞时，xn→A，这个A是一个固定的极限值，是一个常数，所以必然有界。但这个有界不是说上下界都有，只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界。

数列收敛一定有界，（反证，假设无界，肯定不收敛）；有界数列不一定收敛，（反例，数列{(-1)^n}是有界的，但它却是发散的。

数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立！如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。无界数列一定发散，所以有界是收敛的必要条件；但是有界数列不一定收敛。

收敛数列一定有界，但不一定单调，有的收敛数列在极限值附近来回震荡就不是单调的。设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n；N时，恒有|Xn-a|；q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。

收敛数列一定有界（反证，假设无界，肯定不收敛）有界数列不一定收敛（反例，数列{(-1)^n}是有界的，但它却是发散的）本质的不同数列的收敛是指当n趋于无穷时数列项趋于一个数，而数列的前面的有限项是一个确定的数，显然有界，当n趋于无穷时数列收敛，说明后面的任意项都是一个有限的数。

数列收敛与存在极限的关系：数列收敛则存在极限，这两个说法是等价的；数列收敛与有界性的关系：数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立！如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。

收敛必定有界吗?为什么?

收敛函数一定有界。收敛函数就是趋于无穷的（包括无穷小或者无穷大），该函数总是逼近于某一个值，这就叫函数的收敛性。从字面可以含义，就可理解为，函数的值总被某个值约束着，就是收敛，所以收敛必定有界，但是不一定上下界都有。y=1/x收敛，它在无穷时为0，所以有上界。

收敛必然有界，反之不一定；连续是说函数在某范围是一条不间断的曲线。与收敛、有界，没有必然关系。比如，数列是典型的不连续函数，但是，可以收敛、有界；y=sinx是典型的有界、处处收敛、连续的函数。

(1) 收敛一定有界，因为收敛会逐渐逼近一个确定值，因此在收敛方向上一定有界；如 f(x) = e^(-x) *sinx 当x趋近正无穷时；(2) 有界不一定收敛，可以在边界内跳跃或震荡；例如 f(x)=sinx 有界，|f(x)|；=1，但是当x趋近正无穷时，却不收敛。

收敛序列一定有界。这是因为收敛序列的定义就是：如果一个数列的项越来越接近于某一个确定的数，那么这个数列就被称为收敛序列。这个确定的数就是这个数列的极限。首先，我们来看一下什么是有界序列。

收敛函数一定有界吗

1、一定有界。收敛函数就是趋于无穷的包括无穷小或者无穷大，该函数总是逼近于某一个值，这就叫函数的收敛性，函数的值总被某个值约束着，就是收敛，所以一定有界。收敛函数的特性为：一般的级数它的各项为任意级数。如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数收敛，则称级数绝对收敛。

2、收敛函数一定有界。收敛函数就是趋于无穷的（包括无穷小或者无穷大），该函数总是逼近于某一个值，这就叫函数的收敛性。从字面可以含义，就可理解为，函数的值总被某个值约束着，就是收敛，所以收敛必定有界，但是不一定上下界都有。y=1/x收敛，它在无穷时为0，所以有上界。

3、(1) 收敛一定有界，因为收敛会逐渐逼近一个确定值，因此在收敛方向上一定有界；如 f(x) = e^(-x) *sinx 当x趋近正无穷时；(2) 有界不一定收敛，可以在边界内跳跃或震荡；例如 f(x)=sinx 有界，|f(x)|；=1，但是当x趋近正无穷时，却不收敛。